题目

如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点，E为B1C的中点, (1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值.(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出|AF|；若不存在，请说明理由.  答案：解析：(1)以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=a.∴B(0,0,0),C(0, a,0),A(a,0,0),A1(a,0,3a),C1(0, a,3a),B1(0,0,3a).∴D(a, a,3a),E(0,a,a).∴=(a,-a,3a),=(0,a,a).∴||=a,||=a.∴·=0-a2+a2=a2.∴cosθ==.(2)假设存在点F，要使⊥平面B1DF，只要⊥且⊥.不妨设AF=b,则F(a,0,b),=(a,-a,b), =(a,0,b-3a), =(a,a,0).∵·=a2-a2=0,∴⊥恒成立.·=2a2+b(b-3a)=0b=a或b=2a,故当||=a或2a时，⊥平面B1DF.

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