题目

综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． (1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标； (2)点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q.试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标． 答案： 解：(1)当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∵点A在点B的左侧，∴A、B的坐标分别是(－1，0)、(3，0)．(2分) 当x＝0时，y＝3，∴C点的坐标为(0，3)． 设直线AC的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，则 解得∴直线AC的解析式为y＝3x＋3，(4分) ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点D的坐标为(1，4)．(6分) (2)抛物线上有三个这样的点Q，分别为Q1(2，3)，Q2(1＋，－3)，Q3(1－，－3)．(9分) (3)过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F＝BF，则B为点B关于直线AC的对称点，连接BD交直线于AC于点M，则点M为所求． 过点B′作B′E⊥x轴于点E.(10分) ∵∠1和∠2都是∠3的余角， ∴∠1＝∠2. Rt△AOC∽Rt△AFB， ∴＝， 由A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)得 OA＝1，OB＝3， ∴AC＝，AB＝4， ∴＝，∴BF＝， ∴BB′＝2BF＝.由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB， ∴B′点的坐标为 设直线B′D的解析式为y＝k2x＋b2(k2≠0) ∴　解得∴y＝x＋. 由　解得∴M点的坐标为

查看本题答案和解析