题目

在矩形ABCD中，E为上的一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证： （2）若，求EC的长； （3）若，记，求的值． 答案：（1）证明过程见解析；（2）；（3）． 【解析】 （1）只要证明∠B=∠C=90°，∠BAF=∠EFC即可； （2）因为△AFE是△ADE翻折得到的，得到AF=AD=4，根据勾股定理可得BF的长，从而得到CF的长，根据△ABF∽△FCE，得到，从而求出EC的长； （3）根据△ABF∽△FCE，得到∠CEF=∠BAF=，所以tan+tan=，设CE=1，DE=x，可得到AE，AB，AD的长，根据△ABF∽△FCE，得到，将求出的值代入化简会得到关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，然后可求出CE，CF，EF，AF的值，代入tan+tan=即可． 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=∠D=90°， ∴∠AFB+∠BAF=90°， ∵△AFE是△ADE翻折得到的， ∴∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFB+∠CFE=90°， ∴∠BAF=∠CFE， ∴△ABF∽△FCE． （2）解：∵△AFE是△ADE翻折得到的， ∴AF=AD=4， ∴BF=， ∴CF=BC-BF=AD-BF=2， 由（1）得△ABF∽△FCE， ∴， ∴， ∴EC=． （3） 解：由（1）得△ABF∽△FCE， ∴∠CEF=∠BAF=， ∴tan+tan=， 设CE=1，DE=x， ∵， ∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，AD= ∵△ABF∽△FCE， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x2-4x+4=0， 解得x=2， ∴CE=1，CF=，EF=x=2，AF= AD==， ∴tan+tan==． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会运用方程的思想思考问题．

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