题目

是否存在常数a,b,c使等式1·(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论. 答案：思路分析:先取n=1,2,3探求a,b,c的值,然后用数学归纳法证明对一切n∈N*,a,b,c所确定的等式都成立.解:分别用n=1,2,3代入解方程组下面用数学归纳法证明.(1)当n=1时,由上可知等式成立;(2)假设当n=k时,等式成立,则当n=k+1时,左边=1·［(k+1)2-12］+2［(k+1)2-22］+…+k［(k+1)2-k2］+(k+1)［(k+1)2-(k+1)2］=1·(k2-12)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)=(k+1)4-(k+1)2.∴当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.

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