题目

（本小题满分12分） 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）. （I）当x=2时，求证：BD⊥EG ； （II）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为， 求的最大值； （III）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值． 答案：（1）方法一：∵平面平面， AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E-xyz． ，又为BC的中点，BC=4， ．则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）， （－2，2，2），（2，2，0）， （－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴。 方法二：作DH⊥EF于H，连BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF， 而EG平面EBCF，故EG⊥DH． 为平行四边形，且 ，四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H， 故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD． （或者直接利用三垂线定理得出结果） （2）∵AD∥面BFC， 所以 =VA-BFC＝ ， 即时有最大值为． （3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2）， F（0，3，0），∴ （－2，2，2）， 则 ， 即， 取，∴ ，面BCF一个法向量为， 则cos<>=， 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－．

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