题目

如图，抛物线经过A（），B（），C（）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标；（3）设点M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H满足？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：（1）∵该抛物线过点C（0，2）， ∴可设该抛物线的解析式为． 将A（-2，0），B（-，0）代入，得， 解得： ∴此抛物线的解析式为；……………………………………………4分 （2）由题意可求得直线AC的解析式为．………………………………………5分 如图，设D点的横坐标为t（-2＜t＜0），则D点的纵坐标为． 过D作y轴的平行线交AC于E． ∴E点的坐标为． ∴，用h表示点C到线段DE所在直线的距离， ∴ ………………………………………………7分 ∵-2＜t＜0 ∴当t=-1时，△DAC面积最大，此时点D的坐标为（-1，-1）．…………………8分 （3）点H存在．………………………………………………………………………9分 由（1）知，点M的坐标为 解法一：如图，假设存在点H，满足 作直线MH交轴于点K(，0)，作MN⊥轴于点N．  ∵, ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点K的坐标为（）……………………………………………………………11分 所以直线MK的解析式为. ∴   把①代入②，化简，得：． ＞0． …………………………………12分 ∴，．将代入中，解得 ∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）． ∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90˚， 此时点H坐标为．…………………………………………………13分 解法二：如图，过点A作直线,过顶点M作MN⊥AM，MF分别交直线于点N和点F．则 ∠FMN＋∠AMF＝90˚． ∵ ∠MAF＋∠AMF＝90˚，  ∴ ∠MAF＝∠FMN．  又∵ ∠AFM＝∠MFN＝90˚， ∴ △AFM∽△MFN．  ∴ AF∶MF＝MF∶FN． 即 ∴ FN＝． ∴ 点N的坐标为． …………………11分 设过点M，N的直线的解析式为． 将M,N代入得：     解得： 所以直线MN的解析式为 ∴   把①代入②，化简，得：． ＞0．…………………………………12分  ∴，．将代入中，解得 ∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）． ∴ 抛物线上必存在一点H，使∠AMH＝90˚， 此时点H坐标为．

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