题目

袋中装有m个红球和n个白球，m≥n≥2，这些红球和白球除了颜色不同以外，其余都相同.从袋中同时取出2个球，(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白的2个球的概率的整数倍，试证m必为奇数.(2)在m、n的数组中，若取出的球是同色的概率等于不同色的概率，试求适合m+n≤40的所有数组(m,n). 答案：解：(1)设取出的2个球是红球的概率是取出的球是一红一白2个球的概率的k倍(k为整数)，则有.∴=kmnm=2kn+1.∵k∈Z,n∈Z,∴m=2kn+1为奇数.(2)由题意，有.∴=mn.∴m2-m+n2-n-2mn=0,    即(m-n)2=m+n                                  ①∵m≥n≥2,∴m+n≥4.∴4≤m+n≤40.∴m-n的取值只可能是2，3，4，5，6.    相应的m+n的取值分别是4，9，16，25，36，    即或或或或    解得或或或或    注意到m≥n≥2,∴(m,n)的数组值为(6，3)，(10，6)，(15，10)，(21，15).

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