题目

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示． （1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME； （2）证明：平面BDE⊥平面BCD． （3）求三棱锥D﹣BCE的体积． 答案：（1）证明：连接MN，则MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD，MN=CD． 由侧视图可知AE∥CD，AE=CD， ∴MN=AE，MN∥AE． ∴四边形ANME为平行四边形， ∴AN∥EM．∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME， ∴AN∥平面CME． （2）证明：由俯视图可知AC=AB，∵N是BC的中点， ∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN⊂平面ABC， ∴AN⊥平面BCD．由（1）知AN∥EM， ∴EM⊥平面BCD．又EM⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BCD． （3）解：由俯视图得AB⊥AC，AB=AC=2， ∴BC=AB=2， ∵N是BC中点，∴AN=BC=，∴EM=． 由侧视图可知CD=4，CD⊥BC， ∴S△BCD=BCXCD=X2X4=4． ∴VD﹣BCE=VE﹣BCD=S△BCD•|EM|=×4×=．

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