题目

如图为一简单几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=DA=2，EC=1，N为线段PB的中点． （Ⅰ）证明：NE⊥PD； （Ⅱ）求四棱锥B﹣CEPD的体积． 答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF，推导出四边形NFCE为平行四边形，从而NE∥AC，推导出AC⊥PD，由此能证明NE⊥PD． （Ⅱ）推导出平面PDCE⊥平面ABCD，从而BC是四棱锥B﹣PDCE的高，由此能法语出四棱锥B﹣CEPD的体积． 【解答】证明：（Ⅰ）连结AC与BD交于点F，则F为BD的中点，连结NF， ∵N为线段PB的中点，∴NF∥PD，且NF=PD，… 又EC∥PD，且EC=， ∴NF∥EC，且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形， ∴NE∥FC，即NE∥AC． 又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD， ∵NE∥AC，∴NE⊥PD． 解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE， ∴平面PDCE⊥平面ABCD． ∵BC⊥CD，平面PDCCE∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥平面PDCE． ∴BC是四棱锥B﹣PDCE的高． ∵=， ∴四棱锥B﹣CEPD的体积VB﹣CEPD==．

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