题目

若不等式对一切非零实数x均成立，记实数m的取值范围为M．已知集合A={x|x∈M}，集合B={x∈R|x2﹣x﹣6＜0}，则集合A∩B= 答案：{x|﹣1≤x＜3}． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；交集及其运算． 【专题】函数的性质及应用；集合． 【分析】根据题意设f（x）=，求出函数的定义域和f（﹣x），判断出函数的奇偶性，利用基本不等式求出函数的最小值，再求出m的范围，由交集的运算求出A∩B． 【解答】解：设f（x）=，则函数的定义域为{x|x≠0}， 因为f（﹣x）===f（x）， 所以函数f（x）=是偶函数， 当x＞0时，=4，当且仅当时取等号， 所以函数f（x）=的最小值是4， 因为不等式对一切非零实数x均成立， 所以4≥|m﹣2|+1，即|m﹣2|≤3，解得﹣1≤m≤5，则集合A={x|﹣1≤x≤5}， 又B={x∈R|x2﹣x﹣6＜0}={x|﹣2＜x＜3}，所以集合A∩B={x|﹣1≤x＜3}， 故答案为：{x|﹣1≤x＜3}． 【点评】本题考查交集及其运算，函数的奇偶性的应用，基本不等式求函数的最值，恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及绝对值不等式、二次不等式的解法等．

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