题目

已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题： （1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则： ①线段PB=　　，PC=　2　； ②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为　PA2+PB2=PQ2　； （2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程； （3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求） 答案：解答： 解：（1）如图①： ①∵△ABC是等腰直直角三角形，AC=1+ ∴AB===+， ∵PA=， ∴PB=， 作CD⊥AB于D，则AD=CD=， ∴PD=AD﹣PA=， 在RT△PCD中，PC==2， 故答案为，2； ②如图1． ∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB， ∴CD=AD=DB． ∵AP2=（AD﹣PD）2=（DC﹣PD）2=DC2﹣2DC•PD+PD2，PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DC•PD+PD2 ∴AP2+BP2=2CD2+2PD2， ∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2， ∴AP2+BP2=2PC2． ∵△CPQ为等腰直角三角形， ∴2PC2=PQ2． ∴AP2+BP2=PQ2 （2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D． ∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB， ∴CD=AD=DB． ∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DC•PD+PD2，PB2=（DP﹣BD）2=（PD﹣DC）2=DC2﹣2DC•PD+PD2， ∴AP2+BP2=2CD2+2PD2， ∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2， ∴AP2+BP2=2PC2． ∵△CPQ为等腰直角三角形， ∴2PC2=PQ2． ∴AP2+BP2=PQ2． （3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D． ①当点P位于点P1处时． ∵， ∴． ∴． 在Rt△CP1D中，由勾股定理得：==DC， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC， ∴=． ②当点P位于点P2处时． ∵=， ∴． 在Rt△CP2D中，由勾股定理得：==， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC===DC， ∴=． 综上所述，的比值为或．  

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