题目

已知函数f（x）=在（，f（））处的切线方程为8x﹣9y+t=0（m∈N，t∈R） （1）求m和t的值； （2）若关于x的不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立，求实数a的取值范围． 答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得，f（）=，f′（）=，列出m，t的方程组，解方程即可； （2）设h（x）=ax+﹣，x≥．求出导数，对x讨论，若≤x≤，设g（x）=a﹣，求出g（x）的导数，判断单调性，解不等式，对a讨论，即可得到a的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=， 由题意可得，f（）=，f′（）=， 即=，且=， 由m∈N，则m=1，t=8； （2）设h（x）=ax+﹣，x≥． h（）=﹣≥0，即a≥， h′（x）=a﹣，当a≥时，若x＞，h′（x）＞0，① 若≤x≤，设g（x）=a﹣， g′（x）=﹣＜0，g（x）在[，]上递减，且g（）≥0， 则g（x）≥0，即h′（x）≥0在[，]上恒成立．② 由①②可得，a≥时，h′（x）＞0，h（x）在[，+∞）上递增，h（x）≥h（）=≥0， 则当a≥时，不等式f（x）≤ax+在[，+∞）恒成立； 当a＜时，h（）＜0，不合题意． 综上可得a≥． 【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值，正确求导和分类讨论是解题的关键．

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