题目

已知函数f(x)=在(,f())处的切线方程为8x﹣9y+t=0(m∈N,t∈R) (1)求m和t的值; (2)若关于x的不等式f(x)≤ax+在[,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. 答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【专题】分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)求出f(x)的导数,由题意可得,f()=,f′()=,列出m,t的方程组,解方程即可; (2)设h(x)=ax+﹣,x≥.求出导数,对x讨论,若≤x≤,设g(x)=a﹣,求出g(x)的导数,判断单调性,解不等式,对a讨论,即可得到a的范围. 【解答】解:(1)函数f(x)的导数为f′(x)=, 由题意可得,f()=,f′()=, 即=,且=, 由m∈N,则m=1,t=8; (2)设h(x)=ax+﹣,x≥. h()=﹣≥0,即a≥, h′(x)=a﹣,当a≥时,若x>,h′(x)>0,① 若≤x≤,设g(x)=a﹣, g′(x)=﹣<0,g(x)在[,]上递减,且g()≥0, 则g(x)≥0,即h′(x)≥0在[,]上恒成立.② 由①②可得,a≥时,h′(x)>0,h(x)在[,+∞)上递增,h(x)≥h()=≥0, 则当a≥时,不等式f(x)≤ax+在[,+∞)恒成立; 当a<时,h()<0,不合题意. 综上可得a≥. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间,主要考查不等式恒成立问题转化为求函数最值,正确求导和分类讨论是解题的关键.
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