题目

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2.记动点C的轨迹为曲线W. (Ⅰ)求W的方程； (Ⅱ)经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围； （Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）见解析 解析:  (Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ , , ∴ , ∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点. ∴ .  ∴ . ∴ W:   . …………………………………………… 2分 (Ⅱ) 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.      整理，得.         ①………………………… 5分      因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于      ，解得或. ∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 7分 （Ⅲ）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),      由①得.                 ②      又                ③      因为，， 所以.……………………… 11分      所以与共线等价于.      将②③代入上式，解得.      所以不存在常数k，使得向量与共线.

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