题目

已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足0＜a1＜1,an+1=f(an),n=1,2,3,…,证明：(1)0＜an+1＜an＜1;(2)an+1＜an3. 答案：证明：(1)先用数学归纳法证明0＜an＜1,n=1,2,3,….①当n=1时,由已知,结论成立.②假设当n=k时,结论成立,即0＜ak＜1.∵0＜x＜1时,f′(x)=1-cosx＞0,∴f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在［0,1］上连续,从而f(0)＜f(ak)＜f(1),即0＜ak+1＜1-sin1＜1,故当n=k+1时,结论成立.由①②可知0＜an＜1对一切正整数都成立.又∵0＜an＜1时,an+1-an=an-sinan-an=-sinan＜0,∴an+1＜an.综上所述0＜an+1＜an＜1.(2)设函数g(x)=sinx-x+x3,0＜x＜1.由(1)知,当0＜x＜1时,sinx＜x.从而g′(x)=cosx-1+=-2sin2+＞-2()2+=0.∴g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在［0,1］上连续,且g(0)=0,∴当0＜x＜1时,g(x)＞0成立.于是g(an)＞0,即sinan-an+an3＞0.故an+1＜an3.

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