题目

(本题满分16分） 已知两点的坐标分别为、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程; (2)若点在（1）中的轨迹上，且满足为直角三角形，求点的坐标; (3)设经过点的直线与（1）中的轨迹交于两点，问是否存在这样的直线使得为正三角形，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由. 答案：(本题满分16分） 解：（1）∵ ∴点的轨迹是以为焦点，长轴为的椭圆：…5分 （2）如图： ①以为直角顶点时，点的坐标为： ②以为直角顶点时，设点的坐标为，根据直角三角形的性质知： ，即：，解之得：。………………11分 【或：由知：此时为短轴端点】 （3）因为为正三角形，所以 设点的坐标为，轴椭圆的第二定义知：，即 所以：， 所以的直线方程为：………16分

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