题目

如图，抛物线与 x 轴交于 A , B 两点（点 A 在点 B 的 左 侧 ）， 与 y 轴交于点 C ，连接 AC , BC .点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ，点 P 的横坐标为 m ，过 点 P 作 PM ^ x 轴 ，垂 足 为点 M ， PM 交 BC 于点 Q ，过点 P 作 PE∥ AC 交 x 轴于点 E ，交 BC 于点 F . （ 1） 求 A ， B ， C 三点的坐标； （ 2） 试探究在点 P 的 运 动 的 过 程 中 ，是 否 存 在 这 样 的 点 Q ，使 得 以 A ， C ， Q 为 顶 点 的 三 角 形 是 等腰三角形 .若 存 在 ， 请 直．接．写出此时点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说明理由； （ 3） 请用含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF 的长，并求出 m 为 何 值 时 QF 有最大值 .   答案：【考点】 几 何 与 二 次 函 数 综 合 【解析】 （ 1） 解： 由 y = 0 ，得 解得 x1  = -3 ， x2  = 4 . \   点 A ， B 的坐标分别为 A(-3,0)， B（ 4， 0） 由 x = 0 ，得 y = -4 .\   点 C 的 坐 标 为 C（ 0， -4） . 1   （ 2） 答： Q ( 5 2 , 5 2 2 - 4) ， Q (1,-3) . 2   2 （ 3） 过点 F 作 FG ^ PQ 于点 G . 则 FG∥x 轴 .                  由 B（ 4， 0）， C（ 0， -4），得 △O B C为 等 腰 直 角 三 角 形 . \ ÐOBC = ÐQFG = 45° . \ GQ = FG = FQ . PE∥ AC , \ Ð1 = Ð2 . FG∥x 轴，\ Ð2 = Ð3 . \ Ð1 = Ð3 . ÐFGP = ÐAOC = 90° , \ △FGP∽△AOC .                                  

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