题目

如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO=BD=BC． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若半径OB=2，求AD的长． 答案：【考点】切线的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【专题】证明题． 【分析】（1）由于BO=BD=BC，即DB为△ODC的边OC的中线，且有DB=OC，则∠ODC=90°，然后根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由AB为⊙O的直径得∠BDA=90°，而BO=BD=2，则AB=2BD=4，然后根据勾股定理可计算出AD． 【解答】（1）证明：连结OD，如图， ∵BO=BD=BC， ∴BD为△ODC的中线，且DB=OC， ∴∠ODC=90°， ∴OD⊥CD， 而OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDA=90°， ∵BO=BD=2， ∴AB=2BD=4， ∴AD==2． 【点评】本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了直角三角形的判定方法、勾股定理．

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