题目

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E ，连结AC、BC、AE.（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②；（2）作CG⊥AB于点G.若（k＞１），求的值（用含k的式子表示）. 答案：（1）证明：①如图10，解法一：作直径CF，连结BF. ∴ ∠CBF=90°，则 ∠CAB=∠F =90°－∠1. ∵ CD切⊙O于C， ∴ OC⊥CD ，则 ∠BCD =90°－∠1. ∴ ∠BCD =∠CAB . 解法二：如图11，连结OC. ∵ AB是直径， ∴ ∠ACB=90°. 则∠2 =90°－∠OCB. ∵ CD切⊙O于C， ∴ OC⊥CD . 则 ∠BCD =90°－∠OCB. ∴ ∠BCD =∠2. ∵ OA=OC， ∴ ∠2 =∠CAB . ∴ ∠BCD =∠CAB . ② ∵ EC∥AB ，∠BCD =∠3， ∴ ∠4 =∠3=∠BCD. ∵ ∠CBD＋∠ABC=180°， ∵ ∠AEC＋∠ABC=180°， ∴ ∠CBD=∠AEC . ∴ △ACE∽△DCB ． ∴ ． ∴ ．（2）连结EB，交CG于点H， ∵ CG⊥AB于点G， ∠ACB=90°. ∴ ∠3=∠BCG. ∵ ∠3 =∠4. ∴ = ∴ ∠3=∠EBG . ∴ ∠BCG=∠EBG . ∵ （k＞１）， ∴ 在Rt△HGB中，. 在Rt△BCG中，. 设HG =a，则BG= ka，CG= k2a. CH=CG－HG=( k2－1)a. ∵ EC∥AB ， ∴ △ECH∽△BGH ． ∴ ．解法二：如图10-2，作直径FC，连结FB、EF，则∠CEF=90°. ∵CG⊥AB于点G，在Rt△ACG中，设CG =a，则AG= ka，，CF=AB=AG＋BF=（k）a. ∵ EC∥AB ， ∠CEF=90°， ∴直径AB⊥EF. ∴EF=2CG= a. EC=）=( k)a. ∴. 解法三：如图11-2，作EP⊥AB于点P，在Rt△ACG中，设CG =a，则AG= ka，，可证△AEP≌△BCG，则有AP=. EC=AG-AP=（k）a. ∴.

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