题目

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3). (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根，求函数f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围. 答案：(1)因为f(x)+2x>0的解集为(1，3)， 所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0. 于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.　① 由方程f(x)+6a=0，得ax2-(2+4a)x+9a=0.　② 因为方程②有两个相等的根， 所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0， 即5a2-4a-1=0，解得a=1或a=-. 又a<0，所以a=-. 将a=-代入①得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-. (2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=-及a<0， 得f(x)的最大值为-. 由解得a<-2-或-2+<a<0. 故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-∞，-2-)∪(-2+，0). 【精要点评】二次函数、一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.

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