题目

（09年丰台区期末理）（14分）    设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。       （Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证| AB | =；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小值。 答案：解析：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…3分       （Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为              y = k ( x 3 )         有( 1 + 2k2 )x2 12k2x + 18( k2 1 ) = 0               设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )           有x1 + x2 =, x1x2 =              |AB| = ** … 6分              又因为   k = tan=         代入**式得              |AB| = ………… 8分              当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =……………… 10分              而当=时，|AB| ==          综上所述       所以|AB| =       （Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，              同理可得       |CD| == ……………………… 12分              有|AB| + |CD| =+=              因为sin2∈[0，1]，所以 当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是  ………………………… 14分

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