题目

经过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线l交双曲线于A、B两点，F2是右焦点，求（1）弦长AB；（2）△F2AB的周长. 答案：思路解析：求弦长可以由弦长公式，而求△F2AB的周长，由于直线AB过焦点F1，故可考虑定义或利用焦半径公式. 解法一：由双曲线方程x2-=1,得a=1.b=,c=2.∴焦点F1(-2,0),F2(2,0).直线AB方程y=(x+2)代入双曲线方程，得8x2-4x-13=0.设A(x1,y1)，B（x2,y2）,则x1,x2为上述方程的两根.∴∴AB=|x1-x2|=·=3.解法二：双曲线渐近线斜率为k=±，而直线斜率为，∴交点在两支上.∴据双曲线第二定义，AF1=ex1+a,BF1=-ex2-a,∴AB=AF1-BF1=ex1+a-(-ex2-a)=2a+e(x1+x2)=2×1+2×=3.（2）由双曲线的第二定义,得AF2=-(ex1-a)=a-ex1=1-2x1.BF2=ex2-a=2x2-1,∴AF2+BF2=1-2x1+2x2-1=2(x2-x1)=2=2=3.∴△F2AB的周长为3+3.方法归纳    求弦长常用的两种方法，一种是利用弦长公式，由韦达定理求解；一种是利用第二定义将过焦点的弦转化为点到焦点的距离来解决.此时需注意端点是两支上还是一支上，若在一支上，则AB=AF+BF；若A、B在两支上，则AB=|AF-BF|.判断交于两支可由韦达定理x1·x2＜0得到；也可根据直线的斜率与渐近线斜率的大小关系得到.

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