题目
设动点到定点的距离比它到轴的距离大1,记点的轨迹为曲线. (1)求点的轨迹方程; (2)设圆过,且圆心在曲线上,是圆在轴上截得的弦,试探究当运动时,弦长是否为定值?为什么?
答案:(1)曲线方程是 (2)当运动时,弦长为定值4 解析:(1)依题意知,动点到定点的距离等于到直线的距离,曲线是以原点为顶点,为焦点的抛物线………………………………2分 ∵ ∴ ∴ 曲线方程是………4分 (2)设圆的圆心为,∵圆过, ∴圆的方程为 ……………………………7分 令得: 设圆与轴的两交点分别为, 方法1:不妨设,由求根公式得 ,…………………………10分 ∴ 又∵点在抛物线上,∴, ∴ ,即=4--------------------------------------------------------13分 ∴当运动时,弦长为定值4…………………………………………………14分 〔方法2:∵, ∴ 又∵点在抛物线上,∴, ∴ ∴当运动时,弦长为定值4〕