题目

（本小题满分14分） 如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求四棱锥的体积； （Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．   答案：（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在正方形中，因为， 所以三棱柱的底面三角形的边． 因为，， 所以，所以．…………………………………2分 因为四边形为正方形，， 所以，而， 所以平面． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）解：因为平面， 所以为四棱锥的高． 因为四边形为直角梯形，且，， 所以梯形的面积为． 所以四棱锥的体积． ……………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，  所以，， 设平面的一个法向量为． 则    即 令，则． 所以．………………………………………………………………12分 显然平面的一个法向量为． 设平面与平面所成锐二面角为． 则． 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………14分

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