题目

如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点,使直线与直线   所成的角为？若存在，求出线段的长；若    不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点， 所以. 又平面，平面， 所以平面.                                    （Ⅱ）因为平面，， 所以平面， 所以，. 又因为四边形是正方形， 所以. 如图，建立空间直角坐标系， 因为, 所以，，， ，，． …………5分 因为，， 分别为，，的中点， 所以，，. 所以，. 设为平面的一个法向量，则,即， 再令，得.,. 设为平面的一个法向量,则, 即，令，得. 所以==. 所以平面与平面所成锐二面角的大小为.           （Ⅲ）假设在线段上存在一点,使直线与直线所成角为. 依题意可设,其中. 由,则. 又因为,，所以. 因为直线与直线所成角为，， 所以=，即，解得. 所以，. 所以在线段上存在一点,使直线与直线所成角为，此时.                        

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