题目

（08年衡阳八中理）( 13分)  已知点H（0，3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，.(1)当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；(2)过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：曲线C在S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上. 答案：解析：(1)解：设P（a,0），Q（0，b）则：  ∴          …………1分      设M（x,y）∵                                             ∴                            …………4分       ∴点M的轨迹曲线C的方程是(x≠0) ．              …………6分     (2)解法一：设A(a,b)，，（x1≠x2）则：直线SR的方程为：，即4y = (x1+x2)x－x1x2  ∵A点在SR上，∴4b=(x1+x2)a－x1x2  ①                     …………8分  对求导得：y′=x∴抛物线上S、R处的切线方程为：即4   ②即4  ③                 …………11分  联立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0故B点恒在直线ax－2y－2b=0上．                             …………13分解法二：设A(a,b)当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)与联立消去y得：x2－4kx+4ak－4b=0             　     …………8分  设，（x1≠x2）则由韦达定理：                               …………9分又过S、R点的切线方程分别为：，  …………11分  故有 （k为参数）消去k，得：ax－2y－2b=0故B点恒在直线ax－2y－2b=0上．                             …………13分

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