题目

函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)． (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围． 答案：解：(1)∵对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， ∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0. (2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)， ∴f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知，f(x)是偶函数， ∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)． 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数． ∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．

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