题目

已知平面直角坐标系中，A1(-2，0)，A2(2,0)、A3(1,)，△A1A2A3的外接圆为C；椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率e=.(1)求圆C及椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明. 答案：解:(1)∵|OA1|=|OA2|=|OA3|=2，∴外接圆C以原点O为圆心，线段OA1为半径，故其方程为x2+y2=4. ∴2a=4.∴a=2.又e=,∴c=,可得b=.∴所求椭圆C1的方程是+=1. (2)直线PQ与圆C相切.证明:设P(x0,y0)(x0≠±2),则y02=4-x02.当x0=时,P(,±),Q(2,0),kOP·kPQ=-1,∴OP⊥PQ;当x0≠2时,kPF=,∴kOQ=-.∴直线OQ的方程为y=-x. 因此，点Q的坐标为(2,).∵kPQ====, ∴当x0=0时,kPQ=0,OP⊥PQ;当x0≠0时,kOP=,∴kPQ·kOP=-1,OP⊥PQ.综上，当x≠±2时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C相切.

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