题目

已知函数f(x)＝－x3＋ax(a>0)． (1)当a＝1时，求过点P(－1,0)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程； (2)当x∈[0,1]时，不等式x－≤f(x)≤x＋恒成立，求a的取值集合． 答案：　(1)a＝1时，f(x)＝－x3＋x，则f ′(x)＝－3x2＋1， 设切点T(x0，y0)，则f ′(x0)＝－3x＋1， ∴切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)， 即y－(－x＋x0)＝(－3x＋1)(x－x0)． 把(－1,0)代入得(x0＋1)2(2x0－1)＝0， ∴x0＝－1或x0＝. 当x0＝－1时，切线方程为y＝－2x－2； 当x0＝时，切线方程为y＝x＋. (2)不等式x－≤f(x)≤x＋， 即x－≤－x3＋ax≤x＋， ①当x＝0时，不等式显然成立． ②当x∈(0,1]时，不等式化为－＋x2≤a≤＋＋x2， 设g(x)＝－＋x2，h(x)＝＋＋x2， 则g′(x)＝＋2x>0，∴g(x)在(0,1]上单调递增， ∴g(x)max＝g(1)＝1，h′(x)＝， ∴h(x)在(0，]上单调递减，在(，1]上单调递增， ∴h(x)min＝h()＝1， ∴1≤a≤1，∴a＝1. 综上知，a的取值集合为{1}.

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