题目

(本题满分14分) 在平面直角坐标系中，设点(1，0)，直线:，点在直线上移动，是线段与轴的交点, . (Ⅰ)求动点的轨迹的方程； (Ⅱ) 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦 、，设、 的中点分别为．求证：直线必 过定点． 答案：(本题满分14分) 解：(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：．点是线段的中点，且⊥，∴是线段的垂直平分线．…………………….2分 ∴是点到直线的距离． ∵点在线段的垂直平分线，∴．…………4分 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：．…………………………………………………….7分 (Ⅱ) 设，，直线AB的方程为 …………………………………………………….8分                                      　　　　　　　　　则 （1）—（2）得，即，……………………………………9分 代入方程，解得． 所以点Ｍ的坐标为．……………………………………10分 同理可得：的坐标为． 直线的斜率为，方程为 ，整理得，………………12分 显然，不论为何值，均满足方程， 所以直线恒过定点．………………14

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