题目

 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15， 3、b4、27成等比数列． (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn， 答案： (1)bn＝2n＋1(n∈N*)；(2)Tn＝n·3n. 【解析】(1) ∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an， ∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)． 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1. ∴ 数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列， ∴an＝3n－1(n∈N*)． 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5. 又3、b4、27成等比数列，得b4＝±9，又bn>0，故公差d>0,所以b4＝9，d＝2， 又b2＝5，∴bn＝2n＋1(n∈N*)． (2) 由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，① ∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得 －2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n ＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n. ∴Tn＝n·3n.

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