题目

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过二次函数y＝﹣x2+4x图象上的点A（3，3）作x轴的垂线交x轴于点B． （1）如图1，P为线段OA上方抛物线上的一点，在x轴上取点C（1，0），点M、N为y轴上的两个动点，点M在点N的上方且MN＝1．连接AC，当四边形PACO的面积最大时，求PM+MNNO的最小值． （2）如图2，点Q（3，1）在线段AB上，作射线CQ，将△AQC沿直线AB翻折，C点的对应点为C'，将△AQC'沿射线CQ平移3个单位得△A'Q'C″，在射线CQ上取一点M，使得以A'、M、C″为顶点的三角形是等腰三角形，求M点的坐标． 答案：【解析】（1）如图1，过点O作直线l，使直线l经过第二、四象限且与x轴夹角为60°； 过点P作PF⊥x轴于点E，交OA于点D，交直线l于点F；在PF上截取PP'＝1；过点N作NG⊥直线l于点G ∵A（3，3），AB⊥x轴于点B，∴直线OA解析式为y＝x，OB＝AB＝3， ∵C（1，0），∴，是定值， 设P（t，﹣t2+4t）（0＜t＜3）， ∴D（t，t）， ∴PD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t， ∴ ∴时，S△OAP最大， 此时，S四边形PACO＝S△AOC+S△OAP最大， ，∴， ∴，即， ∵点M、N在y轴上且MN＝1，∴PP'＝MN，PP'∥MN， ∴四边形MNP'P是平行四边形，∴PM＝P'N， ∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°﹣60°＝30°， ∴Rt△ONG中，，∴， ∴当点P'、N、G在同一直线上，即P'G⊥直线l时，最小， ∵，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°， ∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，， ∴，∴， ∴Rt△P'GF中，， ∴， ∴PM+MNNO的最小值为. （2）延长A'Q'交x轴于点H， ∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x轴于点B， ∴CB＝2，BQ＝1，∴CQ， ∵△AQC沿直线AB翻折得△AQC'，∴B（3，0）是CC'的中点，∴C'（5，0）， ∵平移距离QQ'＝3，∴CQ'＝CQ+QQ'＝4， ∵QB∥Q'H，∴△CBQ∽△CHQ'， ∴，∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4， ∴xQ'＝OC+CH＝1+8＝9，∴Q'（9，4）， ∴点Q（3，1）向右平移6个单位，向上平移3个单位得到点Q'（9，4） ∴A'（9，6），C''（11，3）， ∴A'C''， 设直线CQ解析式为y＝kx+b， ∴，解得：，∴直线CQ：， 设射线CQ上的点M（m，）（m＞1）， ∴A'M2＝（9﹣m）2+（）2＝（9﹣m）2+（m）2， C''M2＝（11﹣m）2+（）2＝（11﹣m）2+（m）2， ∵△A'MC''是等腰三角形， ①若A'M＝A'C''，则（9﹣m）2+（m）2＝13，解得：m1＝7，m2， ∴M（7，3）或（，）， ②若C''M＝A'C''，则（11﹣m）2+（m）2＝13，解得：m1，m2＝13， ∴M（，）或（13，6）， ③若A'M＝C''M，则（9﹣m）2+（m）2＝（11﹣m）2+（m）2，解得：m＝10， ∴M（10，）， 综上所述，点M坐标为（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）．

查看本题答案和解析