题目

已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围； （3）在（2）的条件下，任意的0＜a＜b，证明：≤1﹣a． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（I）函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R，定义域为（0，+∞）．（x＞0）．对m分类讨论，利用导数与函数的单调性的关系即可得出． （II）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≤0不恒成立；当m＞0时，，要使f（x）≤0恒成立，即﹣lnm﹣1+m≤0．令h（m）=﹣lnm﹣1+m， 利用导数研究其单调性极值与最值即可． （III）0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），==1﹣，再利用（II）的结论t＞1时，lnt＜t﹣1．即可证明． 【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R，定义域为（0，+∞）． （x＞0）． 当m≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数； 当m＞0时，令f′（x）＞0，可得，令f′（x）＜0，可得， ∴函数f（x）在上为增函数，在上为减函数． （2）由（1）可知，当m≤0时，f（x）≤0不恒成立； 当m＞0时，， 要使f（x）≤0恒成立，即﹣lnm﹣1+m≤0． 令h（m）=﹣lnm﹣1+m，， 可得m∈（0，1）时，h（m）为减函数，m∈（1，+∞）时，h（m）为增函数， ∴hmin（m）=h（1）=0， ∴m=1． ∴m的取值范围是{1}． （3）证明：∵0＜a＜b，不妨令b=at（t＞1），==1﹣， 由（2）知f（x）=lnx﹣x+1≤0，可得lnt≤t﹣1，，得， ∴≤1﹣a． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，考查了利用已经证明的结论解决新问题的能力，属于难题．

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