题目

22.已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列. （1）求和：a1－a2+a3，a1－a2+a3－a4; （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. （3）设q≠1，Sn是等比数列{an}的前n项和，求：S1－S2+S3－S4+…+（－1）nSn+1. 答案：22. 解：（1）a1－a2+a3=a1－2a1q+a1q2=a1（1－q）2，a1－a2+a3－a4=a1－3a1q+3a1q2－a1q3=a1（1－q）3. （2）归纳概括的结论为：若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1－a2+a3－a4 +…+（－1）nan+1·=a1（1－q）n，n为正整数.证明: a1－a2+a3－a4+…+（－1）nan+1=a1－a1q+a1q2－a1q3+…+（－1）n·a1qn=a1［－q+q2－q3+…+（－1）nqn］=a1（1－q）n. （3）因为Sn=. 所以S1－S2+S3－S4+…+（－1）nSn+1 =－++…+（－1）n =［－+－+…+（－1）n］－ ［－q+q2　－q3 +…+（－1）nqn］ =（1－q）n.

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