题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点的坐标； （3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．   答案：（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）． 【解析】 （1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可； （2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可． 【详解】 解：（1）在抛物线中， 令，则， ∴点C的坐标为（0，）， ∴OC=2， ∵， ∴，， ∴点A为（，0），点B为（，0）， 则把点A、B代入解析式，得 ，解得：， ∴； （2）由题意，∵，点C为（0，）， ∴点P的纵坐标为， 令，则， 解得：，， ∴点P的坐标为（，）； （3）设直线AC的解析式为，则 把点A、C代入，得 ，解得：， ∴直线AC的解析式为； 过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图： 设点P 为（，），则点D为（，）， ∴， ∵OA=4， ∴当时，S△APC取最大值8； ∴， ∴点P的坐标为（，）． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．

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