题目

（本小题满分16分） 已知函数，，其中m∈R． （1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f1 (x)+f2 (x)的单调性，并证明你的结论； （2）设函数 若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g (x1) = g (x2) 成立，试确定实数m的取值范围． 答案：（本小题满分16分） 解：（1）f (x)为单调减函数．                          ………………………1分 证明：由0<m≤2，x≥2，可得 ==．        由 ，………………4分 且0<m≤2，x≥2，所以．从而函数f(x)为单调减函数．  ……………5分 （亦可先分别用定义法或导数法论证函数在上单调递减，再得函数f(x)为单调减函数．） （2）①若m≤0，由x1≥2，， x2＜2，， 所以g (x1) = g (x2)不成立．                      ………………………7分 ②若m＞０，由x＞2时，， 所以g(x)在单调递减．从而，即． ……………………9分 （a）若m≥2，由于x＜２时，， 所以g(x)在(－∞,2)上单调递增，从而，即． 要使g (x1) = g (x2)成立，只需，即成立即可． 由于函数在的单调递增，且h(4)=0， 所以2≤m＜4．                                ………………………12分 （b）若0＜m＜2，由于x＜2时， 所以g(x)在上单调递增，在上单调递减． 从而，即． 要使g (x1) = g (x2)成立，只需成立，即成立即可． 由0＜m＜2，得 ． 故当0＜m＜2时，恒成立．            ……………………15分 综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．        ………………………16分

查看本题答案和解析