题目

如图，⊙O的直径AB=8，C为圆周上一点，AC=4，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．【小题1】求∠AEC的度数【小题2】求证：四边形OBEC是菱形 答案：【小题1】解：在△AOC中，AC=4，∵ AO＝OC＝4，∴ △AOC是等边三角形．………1分∴ ∠AOC＝60°， ∴∠AEC＝30°．…………………3分【小题2】证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．……………………4分∴ ∠ABD＝∠AOC＝60°．∵ AB为⊙O的直径，∴ △AEB为直角三角形，∠EAB＝30°． …………………………7分∴∠EAB＝∠AEC．∴ 四边形OBEC为平行四边形． …………………………………6分又∵ OB＝OC＝4． ∴ 四边形OBEC是菱形． …………………………………………7 分解析:（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC=60°，根据圆周角定理得到∠AEC=30°；（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB=90°，则∠EAB=30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBEC为平行四边形，再由OB=OC，即可判断四边形OBEC是菱形

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