题目

已知数列{an}(n∈N*),满足a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5.当n≥5时，an+1=a1a2…an-1.若数列{bn}(n∈N*)满足bn=a1a2…an-a12-a22-…-an2.(1)求b5;(2)求证：当n≥5时，bn+1-bn=-1;(3)求证：仅存在两个正整数m，使得a1a2…am=a12+a22+…+am2. 答案：(1)解析:b5=1×2×3×4×5-12-22-32-42-52=65.(2)证明：bn+1=a1a2…anan+1-a12-a22-…-an2-an+12=a1a2…an（a1a2…an-1）-a12-a22-…-a2n-(a1a2…an-1)2=a1a2…an-a12-a22-…-an2-1=bn-1(n≥5),∴bn+1-bn=-1(n≥5).(3)证明：易算出b1=0,b2≠0,b3≠0,b4≠0,当n≥5时，bn+1=bn-1,这表明{bn}从第5项开始，构成一个以b5=65为首项，公差为-1的等差数列.由bm=b5+(m-5)×(-1)=65-m+5=0,解出m=70.因此，满足a1a2…am=a12+a22+…+am2的正整数只有两个：m=70或m=1.

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