题目

i设关于x的方程是x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0.(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;(2)证明对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根. 答案：剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解.    (2)直接证明有困难时,可用反证法.(1)解:设实数根为α,则α2-(tanθ+i)α-2(2+i)=0,    即α2-tanθ·α-2-(α+1)i=0.    ∴    又θ∈(0,),∴θ=,α=-1.    (2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)2-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0.    ∴    此方程组无解,    ∴原方程没有纯虚数根.

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