题目

已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＜0，给出下列四个命题： ①f（﹣2）=0； ②直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数； ④函数y=f（x）在（﹣8，6]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为　　　　　　． 答案：①②④　． 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】数形结合；转化法；简易逻辑． 【分析】①令x=﹣2，可得f（﹣2）=0，从而可判断①； ②由（1）知f（x+4）=f （x），所以f（x）的周期为4，再利用f（x）是R上的偶函数，根据函数对称性从而可判断②； ③依题意知，函数y=f（x）在[0，2]上为减函数结合函数的周期性，从而可判断③； ④由题意可知，y作出函数在（﹣8，6]上有的图象，从而可判断④． 【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=﹣2，则f（﹣2+4）=f（﹣2）+f （2）=f（2）， 即f（﹣2）=0，即①正确； ②：由（1）知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4， 又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（﹣x）， 而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（﹣4+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣4）， ∴f（﹣4﹣x）=f（﹣4+x）， 则直线x=﹣4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确； ③：当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有＜0， ∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数， 而f（x）的周期为4， ∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，故③错误； ④：∵f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[0，2]上为增函数， 在[﹣2，0]上为减函数， ∴作出函数在（﹣8，6]上的图象如图： 则函数y=f（x）在（﹣8，6]上有4个零点，故④正确． 故答案为．①②④ 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题． 　

查看本题答案和解析