题目

如图10-1，已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC．（1）求抛物线的函数表达式；（2分）（2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；（3分）（3）如图10-2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）        答案：（1）解：令x= 0得，y= 4，∴C（0，4）∴OB=OC=4，∴B（4，0）…………………………………………1分代入抛物线表达式得：16a–8a+ 4 = 0，解得a = ∴抛物线的函数表达式为………………………2分（2）解：过点M作MG⊥x轴于G，过点N作NH⊥x轴于H，  设P（x，0），△PMN的面积为S，则PG=，MG=，PH=，NH=∴S==== …………………………3分=∵，∴当x=1时，S有最大值是………………4分∴△PMN的最大面积是，此时点P的坐标是（1，0）………………5分（3）解：存在点F，使得△DOE与△AOC相似．有两种可能情况：①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA由抛物线得：A（–2，0），对称轴为直线x = 1∴OA=2，OC=4，OD=1①若△DOE∽△AOC，则∴，解得OE=2∴点E的坐标是（0，2）或（0，–2）若点E的坐标是（0，2），则直线DE为：解方程组得：，（不合题意，舍去）此时满足条件的点F1的坐标为（，）……………………6分若点E的坐标是（0，–2），同理可求得满足条件的点F2的坐标为（，）…………7分②若△DOE∽△COA，同理也可求得满足条件的点F3的坐标为（，）……………8分满足条件的点F4的坐标为（，）………………………………9分综上所述，存在满足条件的点F，点F的坐标为：F1（，）、F2（，）、F3（，或F4（，）．解析:略 

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