题目

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围. 答案：解析:(1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1,3), f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a＜0,因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a,①由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.②因为方程②有两个相等的根,所以Δ=［-(2+4a)］2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a＜0,舍去a=1.将a=-代入①得f(x)的解析式f(x)=- x2- x-.(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x-)2-,及a＜0,可得f(x)的最大值为-.由解得a＜-2-或-2+＜a＜0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0).

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