题目

在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有等式_________成立.       答案：解析:∵a10=0,       ∴a1+a19=a2+a18=…=a19-n+an+1=…=2a10=0.       ∴a1+a2+…+a19-n=-(a19+a18+…+an+1).       又∵S19=a1+a2+…+an+an+1+…+a19       ==19a10=0,       ∴a1+a2+…+an=-(an+1+an+2+…+a19).       ∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n.       我们从更一般的角度来分析等差数列{an}.       由题设,如果ak=0,那么有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2k-1-n(n<2k-1,n∈N*)成立.       又如果k+n=p+q,其中k、n、p、q是自然数,       对于等差数列{an},则有ak+an=ap+aq;       对于等比数列{bn},则有bkbn=bpbq.       这样我们可以得出结论.       如果bk=1,则有等式       b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1,n∈N*)①       成立.结合本题k=9.       2k-1-n=2×9-1-n=17-n.       ∴应填b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).       证明:∵b9=1,       ∴b1b17=b2b16=…=bn+1b17-n=…=b92=1.       ∴(b1b17)(b2b16)…(b8b10)b9=1.       ∴b1b2…bnbn+1…b17=1(n<17,n∈N*).       ∴b1b2…bn=.       又∵=b1,=b2,…,=b17-n,       ∴b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).       答案:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)

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