题目
(本题满分14分) 已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切,分别是椭圆的左右两个顶点, 为椭圆上的动点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若与均不重合,设直线与的斜率分别为,证明:为定值; (Ⅲ)为过且垂直于轴的直线上的点,若,求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
答案:(本题满分14分) 解:(Ⅰ)由题意可得圆的方程为, ∵直线与圆相切,∴,即, ---------------------------------------1分 又,即,,解得,, 所以椭圆方程为. ---------------------------------------3分 (Ⅱ)设, ,,则,即, 则,, ---------------------------------------4分 即, ∴为定值. ---------------------------------------6分 (Ⅲ)设,其中. 由已知及点在椭圆上可得, 整理得,其中. -------------------------------------8分 ①当时,化简得, 所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段; --------------------9分 ②当时,方程变形为,其中,-------------------------------------11分 当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分; 当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分; 当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆. ---------------------------------------14分