题目

已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． (1)求C的方程． (2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E. ①证明直线AE过定点，并求出定点坐标． ②△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 答案：解：(1)由题意知 设D(t，0)(t>0)，则FD的中点为. 因为|FA|＝|FD|， 由抛物线的定义知3＋＝， 解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)． 由＝3，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)①证明：由(1)知F(1，0)． 设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)． 因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1， 由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2，0)． 故直线AB的斜率kAB＝－. 因为直线l1和直线AB平行， 设直线l1的方程为y＝－x＋b， 代入抛物线方程得y2＋y－＝0， 由题意Δ＝＋＝0，得b＝－. 设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝. 由y＝4x0， 整理可得y＝(x－1)， 直线AE恒过点F(1，0)． 当y＝4时，直线AE的方程为x＝1，过点F(1，0)． 所以直线AE过定点F(1，0)． ②由①知，直线AE过焦点F(1，0)， 所以|AE|＝|AF|＋|FE|＝(x0＋1)＋＝x0＋＋2. 设直线AE的方程为x＝my＋1， 因为点A(x0，y0)在直线AE上， 故m＝. 设B(x1，y1)． 直线AB的方程为y－y0＝－(x－x0)， 由y0≠0，得x＝－y＋2＋x0. 代入抛物线方程得y2＋y－8－4x0＝0， 所以y0＋y1＝－， 可求得y1＝－y0－，x1＝＋x0＋4. 所以点B到直线AE的距离为 当且仅当＝x0，即x0＝1时，等号成立． 所以△ABE的面积的最小值为16.

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