题目

已知函数f（x）=2x2﹣ax+a2﹣4，g（x）=x2﹣x+a2﹣8，a∈R． （1）当a=1时，解不等式f（x）＜0； （2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围； （3）若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围． 答案：【分析】（1）将a=1代入解关于x的不等式即可；（2）问题转化为x2+（1﹣a）x+4＞0在x＞0恒成立，通过讨论判别式得到关于a的不等式组，解出即可； （3）问题转化为f（x）min＞g（x）max，x∈[0，1]，通过讨论a的范围求出f（x）的最小值以及g（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）a=1时，f（x）=2x2﹣x﹣3， 令f（x）＜0，得：（2x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜； （2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立， 即x2+（1﹣a）x+4＞0在x＞0恒成立， 令h（x）=x2+（1﹣a）x+4＞0，（x＞0）， △=（1﹣a）2﹣16＜0即﹣3＜a＜5时， h（x）和x轴无交点，开口向上，符合题意， △≥0时，解得：a≥5或a≤﹣3， 只需，解得：a＜1， 综上：a＜5； （3）若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立， 即只需满足f（x）min＞g（x）max，x∈[0，1]， g（x）=x2﹣x+a2﹣8，对称轴x=，g（x）在[0，）递减，在（，1]递增， ∴g（x）max=g（0）=g（1）=a2﹣8， f（x）=2x2﹣ax+a2﹣4，对称轴x=， ①≤0即a≤0时，f（x）在[0，1]递增，f（x）min=f（0）=a2﹣4＞g（x）max=a2﹣8恒成立， ②0＜＜1即0＜a＜4时，f（x）在[0，）递减，在（，1]递增， f（x）min=f（）=a2+4，g（x）max=a2﹣8， ∴a2+4＞a2﹣8，解得：0＜a＜2， ③≥1即a≥4时，f（x）在[0，1]递减， f（x）min=f（1）=a2﹣a﹣2，g（x）max=a2﹣8， ∴a2﹣a﹣2＞a2﹣8，解得：4≤a＜6， 综上：a∈（﹣∞，2）∪[4，6）． 　

查看本题答案和解析