题目
(09年长郡中学一模文)(12分)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,(I)求证:平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦;(III)求点E到平面ACD的距离.
答案:解析:方法一: (I)证明:连结OC ………1分 在中,由已知可得 而 即……………3分 又 平面……………4分(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………5分 在中, ……………6分 是直角斜边AC上的中线, ……………7分 异面直线AB与CD所成角大小的余弦为;……………8分 (III)解:设点E到平面ACD的距离为 ……………9分在中, ……………10分而……………11分 点E到平面ACD的距离为……………12分 方法二: (I)同方法一.……………4分 (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则………………6分 …………7分………9分 异面直线AB与CD所成角大小的余弦为;……………8分 (III)解:设平面ACD的法向量为则 ……………9分 令得是平面ACD的一个法向量.……………10分 又 点E到平面ACD的距离……………12分