题目

(09年长郡中学一模文)(12分)如图,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,(I)求证:平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦;(III)求点E到平面ACD的距离. 答案:解析:方法一:       (I)证明:连结OC       ………1分              在中,由已知可得       而           即……………3分        又      平面……………4分(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知       直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………5分        在中,       ……………6分       是直角斜边AC上的中线,     ……………7分       异面直线AB与CD所成角大小的余弦为;……………8分       (III)解:设点E到平面ACD的距离为     ……………9分在中,         ……………10分而……………11分          点E到平面ACD的距离为……………12分       方法二:       (I)同方法一.……………4分       (II)解:以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则………………6分       …………7分………9分       异面直线AB与CD所成角大小的余弦为;……………8分       (III)解:设平面ACD的法向量为则       ……………9分              令得是平面ACD的一个法向量.……………10分       又 点E到平面ACD的距离……………12分
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