题目

(本小题满分13分) 已知函数. （Ⅰ）若函数f(x)有三个零点，且，，求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）若，，求证：导函数在区间(0，2)内至少有一个零点； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围. 答案：（Ⅰ）的单调递减区间是，单调递增区间是 （Ⅱ）因为，，所以，即. 因为，所以，即.                         于是，，.  （1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点.                                                                          （2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点. 故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.                                 （Ⅲ）的取值范围是.      解析:（I）因为，又，则 .                                                   （1分） 因为x2，x3是方程的两根，则 ，.即.                                          （2分） 又，即，所以，即，从而. 所以.                                                   （3分） 因为，由，得. 故的单调递减区间是，单调递增区间是.                  （4分） （Ⅱ）因为，，所以，即. 因为，所以，即.                          （5分） 于是，，.   （6分） （1）当时，因为，则在区间内至少有一个零点.                                                                             （7分） （2）当时，因为，则在区间（1，2）内至少有一零点. 故导函数在区间(0，2)内至少有一个零点.                                  （8分） （Ⅲ）设m，n是导函数的两个零点，则，. 所以.           （10分） 由已知，，则，即. 所以，即或.                                （11分） 又，，所以，即. 因为，所以.                                               （12分） 综上分析，的取值范围是.                                  （13分）

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