题目

设函数，（）. （1）当时，解关于的方程（其中为自然对数的底数）； （2）求函数的单调增区间； （3）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：，） 答案：解：（1）当时，方程即为，去分母，得 ，解得或，        故所求方程的根为或.            （2）因为， 所以（）， …6分 ①当时，由，解得； ②当时，由，解得； ③当时，由，解得； ④当时，由，解得； ⑤当时，由，解得. 综上所述，当时，的增区间为； 当时，的增区间为； 时，的增区间为.         （3）方法一：当时，，， 所以单调递增，，， 所以存在唯一，使得，即，  分 当时，，当时，， 所以， 记函数，则在上单调递增，     所以，即， 由，且为整数，得， 所以存在整数满足题意，且的最小值为.             方法二：当时，，所以， 由得，当时，不等式有解，       下证：当时，恒成立，即证恒成立. 显然当时，不等式恒成立， 只需证明当时，恒成立. 即证明.令， 所以，由，得， …14分 当，；当，； 所以. 所以当时，恒成立. 综上所述，存在整数满足题意，且的最小值为.        .

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