题目

已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD.(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成角的余弦值. 答案：(1)证明：连结BC1、B1C,则B1C⊥BC1，又D1C1⊥平面C1B1BC，BC1是BD1在平面C1B1BC内的射影，由三垂线定理可得BD1⊥B1C.在△BD1D中，E、F分别是D1D、BD的中点，∴EF∥BD1，∴EF⊥B1C.(2)解：在D1C1上取点H，使D1H=D1C1，设正方体棱长为8，则D1H=1.易知EH∥C1G，则∠HEF即为所求角或其补角.又易得EH=，EF=4，FH=.∴由余弦定理有cos∠HEF=.故∠HEF的补角为EF与C1G所成的角，余弦值为.

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