题目

已知函数f(x)=,m∈R. (1)若m=1,判断函数在定义域内的单调性. (2)若函数在(1,e)内存在极值,求实数m的取值范围. 答案： (1)显然函数定义域为(0,+∞),若m=1,由导数运算法则知 f′(x)=, 令f′(x)=0得x=e, 当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. (2)由导数运算法则知,f′(x)=, 令f′(x)=0得x=em, 当x∈(0,em)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(em,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 故当x=em时,f(x)有极大值,根据题意1<em<e,即0<m<1. 【方法总结】利用导数研究函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f′(x). (3)解方程f′(x)=0在定义域内的所有实数根. (4)将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间. (5)确定f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.

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